Exercícios de revisão: método da substituição para integrais indefinidas e definidas. O teorema fundamental do cálculo

Integração por partes e exercícios. Integrais envolvendo produtos/potências de funções trigonométricas tais como secⁿ(x) (com n = 3, 4, 5), cos^m(x) (com m = 2, 3, 4), cos(nx) sen(mx), etc.

Substituição trigonométrica (os três casos).

Continuação de substituição trigonométrica. Integração por frações parciais.

Continuação de integração por frações parciais. Exercícios

Substituições especiais (u = tg(x/2)) e outras menos gerais (como as primitivas de (1 + e^x)^1/2, 1/((x + 1)^1/2 + 1) e x/(1 - x^1/3)).

Cálculo volume de sólidos de revolução usando o método dos discos circulares, com eixo de revolução da forma x = a e y = a.

Cálculo volume de sólidos de revolução usando o método das cascas cilíndricas, com eixo de revolução da forma x = a e y = a.

Integrais impróprias de funções contínuas em domínios ilimitados: convergência e divergências. Exemplos.

Condição necessária para a convergência de integrais impróprias. Integrais impróprias em intervalos limitados onde algum limite lateral é infinito em algum ponto do intervalo. Integrais duplamente impróprias.

Critério da comparação para integrais impróprias.

Aula de exercícios.

Aula de exercícios.

1^a VE.

Funções reais de n variáveis, domínio, imagem, curvas de nível e esboço de gráficos de z = f(x, y).

Revisão rápida de quádricas, cilindros, superfícies de revolução. Exemplos de superfícies de nível.

Distância em Rⁿ, bolas abertas e fechadas, introdução ao limite, propriedades de limites, os teoremas do sanduíche e do anulamento. Exemplos de continuidade.

Curvas parametrizadas, limites ao longo de curvas, limites que não existem.

Derivadas parciais, derivadas parciais sucessivas, o teorema de Schwarz, diferenciabilidade (apenas a definição), o plano tangente ao gráfico de uma função.

Critério para diferenciabilidade: se f é de classe C¹, então f é diferenciável. Teorema: se f é diferenciável, então f é contínua.

A regra da cadeia para z(t) = f(x(t), y(t)) e w(t) = f(x(t), y(t), z(t)). O cálculo de z"(t), onde z(t) = f(x(t), y(t)).

A regra da cadeia para z(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)). Exercícios.

O teorema da função implícita para f(x, y) = 0 e f(x, y, z) = 0. Propriedades do gradiente.

Retas tangentes e normal às curvas de nível no plano. Planos tangentes e retas normais às superfícies de nível no espaço.

Derivada direcional. crescimento máximo, crescimento mínimo, etc.

Polinômio de Taylor de uma variável real, polinômio de Taylor de segunda ordem para z = f(x, y), aproximação de segunda ordem.

Aula de exercícios.

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2^a VE.

Integrais duplas: somas de Riemann, volumes com sinal, propriedades, método de cálculo em retângulos (o teorema de Fubini).

Método de cálculo de integrais duplas em regiões mais gerais (Tipos I e II). Mudança na ordem de integração.

Mudança de variáveis na integral dupla.

Integral dupla em coordenadas polares.

Aplicações geométricas da integral dupla: área de região plana, volume de sólidos. Aplicações da integral dupla à Física: massa, centro de massa e momento de inércia de lâminas delgadas.

Integrais triplas. Integral iterada de três variáveis e o Teorema de Fubini.

Mudança de variáveis na integral tripla. Integral tripla em coordenadas cilíndricas.

Integral tripla em coordenadas esféricas.

Aplicações geométricas da integral tripla: volume de sólidos. Aplicações da integral tripla à Física: massa, centro de massa e momento de inércia de corpos sólidos.

Máximos e mínimos relativos e absolutos: definições. Pontos críticos.

Máximos e mínimos relativos em conjuntos abertos: teste da derivada segunda (Hessiana).

Multiplicadores de Lagrange. Máximos e mínimos de funções contínuas em conjuntos compactos.

Exercícios gerais.                                                                                                                                                                                                        

Exercícios gerais.                                                                                                                                                                                                        

Exercícios gerais.                                                                                                                                                                                                        

Exercícios gerais.                                                                                                                                                                                                        

2^a VE.                                                                                                                                                                                                        

VR.

VS.