Término das aulas.

As notas da verificação de aprendizagem final com revisão estão disponíveis aqui.

As notas da terceira verificação de aprendizagem e da prova de reposição, agora com revisão, estão disponíveis aqui.

As notas da terceira verificação de aprendizagem, agora com revisão, estão disponíveis aqui.

O gabarito da terceira prova da turma do professor Humberto está disponível como um arquivo PDF: gabarito-03.pdf (143 Kb).

Os applets abaixo permitem que você, de maneira interativa, determine as variações de ϑ, φ e ρ que, em coordenadas esféricas, determinam o sólido correspondente.

As notas da segunda verificação de aprendizagem, agora com revisão, estão disponíveis aqui.

As notas da segunda verificação de aprendizagem, ainda sem revisão, estão disponíveis aqui.

O gabarito da segunda prova da turma do professor Humberto está disponível como um arquivo PDF: gabarito-02.pdf (514 Kb).

O applet JAVA abaixo visualizar os gráficos dos polinômios de Taylor de uma função de uma única variável. Experimente usar o programa!

Clique aqui ou na figura abaixo para executar um sistema de computação simbólica em Java que calcula limites, derivadas parciais e integrais simbolicamente. O sistema também permite desenhar gráficos de funções de uma e duas variáveis. Para executar este programa, seu computador deve ter a linguagem Java instalada. A versão para Microsoft Windows pode ser obtida aqui (arquivo j2re1.4.exe com 10 Mb).

Clique aqui ou na figura abaixo para executar um programa Java que calcula derivadas parciais simbolicamente. Para executar este programa, seu computador deve ter a linguagem Java instalada. A versão para Microsoft Windows pode ser obtida aqui (arquivo j2re1.4.exe com 10 Mb).

Nos cursos de física aprendemos que as derivadas de ordem 1 e 2 da posição com relação ao tempo fornecem, respectivamente, a velocidade e a aceleração do objeto. Menos conhecida é a derivada terceira da posição com relação ao tempo (isto é, a taxa de variação da aceleração com relação ao tempo) que, em inglês, recebe o nome de jerk. Esta derivada é útil, por exemplo, quando queremos estudar o desgaste pela ação do movimento de um mecanismo sensível ou o desconforto dos passageiros dentro de um veículo. De fato, em algumas situações, derivadas de ordem ainda mais altas são necessárias [como na construção do telescópio espacial Hubble]. Mais detalhes no Physics FAQ. A tabela abaixo mostra os nomes em inglês sugeridos para as derivadas de ordem superior da posição com relação ao tempo.

A função f definida por f(x) = x² cos(1/x) para x diferente de zero e f(0) = 0 é um exemplo de função derivável, mas cuja derivada não é contínua.

Existem funções que são contínuas, mas não são deriváveis em lugar algum. O exemplo clássico da função é a função de Weierstrass, que é definida por uma série de funções (veja também o link da Wikipédia):

Já, na linha de fractais, temos a função de Blancmange, que é construída por uma recursão. Outra situação é o movimento Browniano: imagine um bêbado cambaleando sobre a reta. Se você desenhar o gráfico da posição do bêbado em função do tempo, você obterá uma função contínua que não é diferenciável em lugar algum. Veja o applet ilustrando este processo (seu navegador precisa ter a linguagem Java instalada):

Johan Thim, da Luleå University of Technology na Escandinávia, escreveu uma excelente dissertação sobre o assunto (em inglês): “Continuous Nowhere Differentiable Functions” (635 Kb).

Enquanto que os livros de análise dizem que a função y = f(x) = 1/x é contínua, muitos livros de cálculo dizem que a função não é contínua em x = 0. De fato, não existe um consenso na definição de continuidade. O pesquisador J. F. Harper identificou mais de seis definições diferentes de continuidade em livros clássicos de matemática. O artigo original (em inglês) está disponível aqui: “What really is a continuous function?” (83 Kb).

A função f definida por z = f(x, y) = x²y/(x⁴ + y²) apresenta um comportamento interessente: f(x, y) se aproxima de zero quando (x, y) se aproxima de (0, 0) ao longo de qualquer reta passando por (0, 0) mas, quando (x, y) se aproxima do ponto (0, 0) ao longo da parábola y = x², f(x, y) se aproxima de 1/2!

Os applets abaixo permitem visualizar o gráfico de uma função f de duas variáveis e o gráfico da função g obtida restringindo-se a função f a uma reta que passa por um ponto pré-estabelecido sendo, portanto, útil para o estudo de limites de funções de duas variáveis. Os applets estudam, respectivamente, o limite no ponto p = (0, 0) das funções

   

A professora Marlene Dieguez Fernandez do Departamento de Matemática Aplicada escreveu um texto onde é possível encontrar o desenho correspondente a cada tipo de equação quadrátrica de grau 2 em três variáveis. Clique aqui para baixar o texto (206 Kb).

O hiperbolóide elíptico de uma folha x² + y² - z² = 1 pode ser construído girando-se dois anéis circulares que foram ligados por várias cordas de mesmo comprimento, como mostram as fotos abaixo do modelo concreto construído pelo Laboratório de Ensino de Matemática da UFBA.

  

Esta propriedade faz do hiperbolóide elíptico uma construção “estruturalmente estável”. As chaminés das usinas nucleares possuem o formato do hiperbolóide elíptico justamente por este motivo.

Para visualizar e manipular o hiperbolóide elíptico de uma folha em seu computador, clique nas figuras abaixo (seu navegador precisará da linguagem JAVA instalada). A primeira figura conduz a um applet JAVA onde é possível verificar que o hiperbolóide elíptico de uma folha é uma superfície regrada, isto é, ele pode ser construído movendo-se uma reta no espaço ao longo de um círculo. A segunda figura conduz a um applet JAVA onde é possível estudar a interseção do hiperbolóide elipítico com planos paralelos aos planos coordenados.

  

A sela de macaco é o gráfico da função z = x³-4xy². Clique nas fotos abaixo para ver o modelo concreto da sela de macaco construído pelo Laboratório de Ensino de Matemática da UFBA.

  

Para visualizar e manipular a sela de macaco em seu computador, clique na figura abaixo (seu navegador precisará da linguagem Java instalada).

Os applets abaixo mostram como você decompor um sólido de revolução em infinitas cascas cilíndricas. Por conta desta decomposição, ao se integrar (somar) as áreas laterais destas cascas, obtemos o volume do sólido de revolução. Observação: para executar estes applets, seu navegador precisa ter a linguagem JAVA instalada.

Toda função racional (divisão de funções polinomiais reais) possui uma decomposição em frações parciais? A resposta é sim! Você encontrará uma demonstração deste fato no capítulo II do livro Álgebra: Um Curso de Introdução de Arnaldo Garcia e Yves Lequain, publicado pelo IMPA.

Certamente você conhece a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes de um polinômio de grau 2. Menos conhecidas são as fórmulas para se encontrar todas as raízes de polinômios de grau 3 (fórmula de Cardano) e de grau 4 (fórmula de Ferrari).

Clique aqui ou na figura abaixo para executar um programa que calcula simbolicamente as raízes de polinômios de grau menor do que ou igual a 4. Por exemplo, para calcular as três raízes do polinômio

digite a expressão 2*x^3 - 5*x^2 + 10*x - 4 = 0 no campo “Equation to Solve:” e, então, clique no botão “Solve!”.

Para saber mais sobre a teoria das fórmulas de Cardano e Ferrai, consulte o artigo "Uma Solução das Equações do Terceiro e do Quarto Graus" de Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira, publicado no volume 25 da Revista do Professor de Matemática da Sociedade Brasileira de Matemática. Aspectos históricos podem ser encontrados (em inglês) no "The MacTutor History of Mathematics Archive". Leia também os artigos na Wikipédia para o cálculo das raízes de um polinômio de grau 3 e de um polinômio de grau 4.

E polinômios de grau 5 ou superior? Em 1826, Niels Henrik Abel mostrou que não existe uma fórmula para se calcular as raízes de um polinômio grau 5 usando as quatro operações aritméticas e extração de raízes. Por volta de 1832, Evariste Galois desenvolveu a teoria dos grupos de Galois e descreveu de maneira precisa quando é possível escrever as raízes de um polinômio em termos de radicais. Para saber mais, consulte o link "Solving the Quintic with Mathematica" publicado pela Wolfram Research, Inc.

Clique na figura abaixo para ver a demonstração “sem palavras” dada por Richard Courant para a fórmula de integração por partes [página 42 do livro Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking de Roger B. Nelsen, publicado pela MAA].

Clique aqui ou na figura abaixo para executar um programa que calcula integrais simbolicamente. Você deve especificar as operações e as funções de acordo com a tabela abaixo (note que, por exemplo, em inglês, a função seno é representada por sin(x) ao invés de sen(x)).

Notação	Observação
+,-,*,/	soma, subtração, multiplicação e divisão
a^x	a elevado a x
pi	a contante p
sqrt(x)	a raiz quadrada de x
exp(x)	a exponencial de x na base e
ln(x) ou log(x)	o logaritmo natural de x
sin(x)	o seno de x
cos(x)	o cosseno de x
tan(x)	a tangente de x

Clique nas figura abaixo para acessar applets que ilustram como aproximar a área entre o gráfico de uma função e o eixo x usando somas de Riemann.

Início das aulas.

Número da pasta na xérox com as listas de exercícios: 04.

Atenção: veja aqui os novos critérios de avaliação adotados pelo GMA.

Sugestões de bibliografia:

James Stewart. Cálculo, volumes 1 e 2. Quarta edição, Editora Pioneira, 2001.

Hamilton Guidorizzi. Um curso de Cálculo, volumes 1, 2 e 3. Livros Técnicos e Científicos, 2001.

Jerrold E. Marsden e Anthony J. Tromba. Vector Calculus. Quarta edição, W.H. Freeman & Company, 1996.