EXERCÍCIOS SOBRE PROPRIEDADES DE ESTIMADORES

1) Considere uma variável com distribuição normal com média igual a 13 e variância igual a 16.

1a) Mostre por simulações que o estimador $$\theta_1=(\bar{X}+mediana(X1,…Xn))/2$$ é não tendencioso para a média de $$X$$

# Criando o estimador
teta1<-function(x){(mean(x)+median(x))/2}

# Retirando 1000 amostras de tamanho 100
amostras<-replicate(1000,rnorm(100,13,4))

# Criando uma matriz 1000 x 100
amostras<-t(amostras)

# Aplicando o estimador nas 1000 amostras e encontrando o resultado médio
T1<-apply(amostras,1,teta1)

mean(T1)

1b) Qual a variância do estimador proposto para n=20, 100 e 500

########################
# Amostras de tamanho 20
########################

amostras<-replicate(1000,rnorm(20,13,4))

# Criando uma matriz 1000 x 20
amostras<-t(amostras)

# Aplicando o estimador nas 1000 amostras e encontrando a variância
T1<-apply(amostras,1,teta1)

var(T1)

###########################
# Amostras de tamanho 100
###########################

amostras<-replicate(1000,rnorm(100,13,4))

# Criando uma matriz 1000 x 100
amostras<-t(amostras)

# Aplicando o estimador nas 1000 amostras e encontrando a variância
T1<-apply(amostras,1,teta1)

var(T1)

#########################
# Amostras de tamanho 500
#########################

amostras<-replicate(1000,rnorm(500,13,4))

# Criando uma matriz 1000 x 500
amostras<-t(amostras)

# Aplicando o estimador nas 1000 amostras e encontrando a variância
T1<-apply(amostras,1,teta1)

var(T1)

comentário: neste exercício seria mais prático criar uma função que possibilitasse variar o tamanho n da amostra

1c) O estimador proposto é consistente para estimar a média de X ?

# Criando um objeto para armazenar variancias do estimador para diversos tamanhos de amostra
var.teta1<-NULL

# Criando um contador que será util para armazenar as diversas variâncias que serao calculadas
cont<-1

# Definindo o número de amostras sorteadas em cada iteração
m<-1000

# Loop para calcular variancia do estimador com tamanhos n de amostra
# variando de 5 até 1000

for (n in 5:1000) {
a<-replicate(m,rnorm(n,13,4))
a<-t(a)
var.teta1[cont]<-var(apply(a,1,teta1))
cont<-cont+1
}

2) Considere que X tem distribuição uniforme entre 0 e $$\theta$$. Com o estimador $$\hat \theta =2\bar{X}$$, encontre (para $$\theta=10$$)

2a) $$E(\hat \theta)$$

m<-1000
n<-50

teta<-function(x){2*mean(x)}

am<-replicate(m,runif(n,0,10))

am<-t(am)

T<-apply(am,1,teta)

mean(T)

2b) $$Var(\hat \theta)$$

var(T)

comentário: repare que neste exercício não foi estipulado o valor de n, tamanho de amostra. O comportamento do estimador, em geral, depende desta escolha.

3) Para a mesma distribuição da questão anterior, mostre que o estimador $$\hat \theta_2=max(X_1,X_2,…,X_n)$$ é viciado para $$n=5$$ e o vício diminui para n→$$\infty$$

vicio<-NULL

# Tamanho de Amostra n = 5
a<-t(replicate(1000,runif(5,0,10)))
vicio[1] <- 10-mean(apply(a,1,teta))

# Tamanho de Amostra n = 50

a<-t(replicate(1000,runif(50,0,10)))
vicio[2] <- 10-mean(apply(a,1,teta))


# Tamanho de Amostra n = 500
a<-t(replicate(1000,runif(500,0,10)))
vicio[3] <- 10-mean(apply(a,1,teta))


# Tamanho de Amostra n = 5000
a<-t(replicate(1000,runif(5000,0,10)))
vicio[4] <- 10-mean(apply(a,1,teta))

4) Mostre, com simulações que para amostras de tamanho $n=5$ a soma do quadrado de variáveis normais padronizadas apresenta distribuição qui-quadrado, ou seja se $$Z ~ N(0,1)$$ então $$Q=\sum_{i=1}^5 Z_i^2 ~\chi_5^2$$

5) Mostre, por meio de simulações que a estatística F de Snedecor com 10 e 5 graus de liberdade pode ser obtida por uma razões de estatísticas qui-quadrado conforme : $$F=(\chi_10^2/10)/(\chi_5^2/5)

 
disciplinas/get00079/exercicios1910.txt · Última modificação: 2010/11/03 14:18 por joelrosa · [Revisões anteriores]
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