Sistemas Dinâmicos II – 2010-1

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Este é o artigo “seminal” onde definem todas as versões de conjunto de rotação e provam as propriedades básicas:

MR1053617 (91f:58052) Misiurewicz, Michaƚ; Ziemian, Krystyna Rotation sets for maps of tori. J. London Math. Soc. (2) 40 (1989), no. 3, 490–506.

Esse não está on-line mas tenho copia. É aqui que eles provam que pontos no interior do conjunto de rotação são realizados por medidas ergódicas (de fato por compactos invariantes):

MR1100607 (92d:58106) Misiurewicz, Michaƚ; Ziemian, Krystyna Rotation sets and ergodic measures for torus homeomorphisms. Fund. Math. 137 (1991), no. 1, 45–52.

Aqui provam a entropia positiva dos homeos que tem interior no conjunto de rotação, dentre outras coisas:

MR1101087 (92b:58184) Llibre, J.; MacKay, R. S. Rotation vectors and entropy for homeomorphisms of the torus isotopic to the identity. Ergodic Theory Dynam. Systems 11 (1991), no. 1, 115–128

Aqui ele prova o “Lema de Franks” e usa isso para provar uma versão do teorema de Poincaré-Brikhoff mais geral (ver a errata também):

MR0951509 (89m:54052) Franks, John Generalizations of the Poincaré-Birkhoff theorem. Ann. of Math. (2) 128 (1988), no. 1, 139–151.

MR2259255 (2007g:54056) Franks, John Erratum to: “Generalizations of the Poincaré-Birkhoff theorem” [Ann. of Math. (2) 128 (1988), no. 1, 139–151; MR0951509]. Ann. of Math. (2) 164 (2006), no. 3, 1097–1098.

Aqui prova a realização de pontos racionais extremais do conjunto de rotação por órbitas periódicas, e também mostra um teorema bacana (que no fundo é o mesmo argumento) sobre conjuntos recorrentes por cadeia no anel:

MR0967632 (90d:58124) Franks, John Recurrence and fixed points of surface homeomorphisms. Ergodic Theory Dynam. Systems 8$^*$ (1988), Charles Conley Memorial Issue     , 99–107.

Aqui tem a prova da realização de pontos racionais no interior do conjunto de rotação por órbitas periódicas:

MR0958891 (89k:58239) Franks, John Realizing rotation vectors for torus homeomorphisms. Trans. Amer. Math. Soc. 311 (1989), no. 1, 107–115.

E aqui está a realização de pontos racionais quaisquer quando o homeomorfismo preserva área e o conjunto de rotação tem interior vazio:

MR1479903 (98j:58092) Franks, John The rotation set and periodic points for torus homeomorphisms. Dynamical systems and chaos, Vol. 1 (Hachioji, 1994), 41–48, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1995.

E aqui tem a realização de pontos racionais no caso particular em que o conjunto de rotação é um intervalo de inclinação irracional:

MR1653236 (99h:58147) Jonker, Leo B.; Zhang, Lei Torus homeomorphisms whose rotation sets have empty interior. Ergodic Theory Dynam. Systems 18 (1998), no. 5, 1173–1185.

Aqui tem uma classificação dos possíveis conjuntos de rotação para fluxos do toro (i.e. conjuntos de rotação de homeos que são tempo 1 de um fluxo). Também aqui tem a conjectura sobre os possíveis conjuntos de rotação com interior vazio.

MR1021217 (90i:58091) Franks, John; Misiurewicz, Michaƚ Rotation sets of toral flows. Proc. Amer. Math. Soc. 109 (1990), no. 1, 243–249.

Aqui o Kwapisz mostra que os polígonos convexos com extremos racionais são conjuntos de rotação de alguém, e dá um exemplo “não poligonal” (um polígono com infinitos vértices).

MR1176627 (93g:58082) Kwapisz, Jaroslaw Every convex polygon with rational vertices is a rotation set. Ergodic Theory Dynam. Systems 12 (1992), no. 2, 333–339

MR1342499 (96j:58099) Kwapisz, Jaroslaw A toral diffeomorphism with a nonpolygonal rotation set. Nonlinearity 8 (1995), no. 4, 461–476

E aqui a prova errada de uma parte da Conjectura de Franks-Misiurewicz (mas tem um teorema bacana de “curvas livres”)

MR1895207 (2003d:37058) Kwapisz, Jaroslaw A priori degeneracy of one-dimensional rotation sets for periodic point free torus maps. Trans. Amer. Math. Soc. 354 (2002), no. 7, 2865–2895

E aqui uma prova muito mais simples e topológica do teorema das “curvas livres” do Kwapisz

MR2069713 (2005d:37084) Béguin, F.; Crovisier, S.; Le Roux, F.; Patou, A. Pseudo-rotations of the closed annulus: variation on a theorem of J. Kwapisz. Nonlinearity 17 (2004), no. 4, 1427–1453.

Aqui tem feito o teorema de Conley sobre funções de Lyapunov para homeomorfismos, e ele prova uma versão do teorema de Poincaré-Birkhoff:

MR0986260 (90e:58095) Franks, John A variation on the Poincaré-Birkhoff theorem. Hamiltonian dynamical systems (Boulder, CO, 1987), 111–117, Contemp. Math., 81, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988. (Reviewer: A. Pelczar) 58F12 (34D20 58F99)

Aqui tem um resultado para superfícies de género maior que 1:

MR1325916 (96i:58143) Franks, John Rotation vectors and fixed points of area preserving surface diffeomorphisms. Trans. Amer. Math. Soc. 348 (1996), no. 7, 2637–2662.

E aqui para o anel aberto:

MR1371312 (97c:58123) Franks, John Area preserving homeomorphisms of open surfaces of genus zero. New York J. Math. 2 (1996), 1–19.

MR1844997 (2002h:37069) Le Calvez, Patrice Rotation numbers in the infinite annulus. Proc. Amer. Math. Soc. 129 (2001), no. 11, 3221–3230

Aqui tem um survey sobre conjuntos de rotação focalizado em difeos que preservam área:

MR1978565 (2004h:37063) Franks, John Rotation numbers and instability sets. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 40 (2003), no. 3, 263–279