Os primeiros n\u00fameros que aprendemos em nossa inf\u00e2ncia s\u00e3o os n\u00fameros naturais. O jeito mais intuitivo disso \u00e9 contando os objetos ao nosso redor. Por volta de 3000 a.C j\u00e1 existia sistemas de contagem mas o que conhecemos hoje como conjunto dos n\u00fameros naturais (ou conjunto de contagem) s\u00f3 foi formalizado em 1889 pelo matem\u00e1tico italiano Giuseppe Peano quando apresentou axiomas que hoje s\u00e3o conhecidos como Axiomas de Peano. Esses axiomas s\u00e3o a base dos n\u00fameros naturais e o que nos permitiu desenvolver todos os resultados que conhecemos atualmente a respeito desse conjunto. Voltando \u00e0 nossa inf\u00e2ncia, quando contamos objetos, fazemos algo aparentemente muito simples: apontamos para cada objeto e dizemos 1,2,3,\u2026. Sem perceber, estamos estabelecendo uma correspond\u00eancia entre os n\u00fameros e os objetos. Ora, isso \u00e9 exatamente a defini\u00e7\u00e3o de uma fun\u00e7\u00e3o entre conjuntos. Aqueles que cursam matem\u00e1tica, aprendem principalmente na disciplina de An\u00e1lise Real que contar objetos de um conjunto nada mais \u00e9 que construir uma fun\u00e7\u00e3o que a cada n\u00famero natural est\u00e1 associado a um elemento (objeto) do conjunto. Mais precisamente, dizer que um conjunto A tem n elementos significa dizer que existe uma rela\u00e7\u00e3o biun\u00edvoca entre o conjunto {1,2,…,n} e A, isto \u00e9, cada elemento do conjunto A est\u00e1 associado a um e somente um n\u00famero entre 1 e n. Essa \u00e9 a defini\u00e7\u00e3o de um conjunto finito. Mas agora eu fa\u00e7o a seguinte pergunta: qual conjunto tem mais elementos: A={1,2,3,4,5,…} ou B={2,4,6,8,…}? Simples, todos os elementos de B fazem parte de A, por\u00e9m, o n\u00famero 1 est\u00e1 em A e n\u00e3o est\u00e1 em B, portanto A tem mais elementos que B. Mas por outro lado, todo n\u00famero de A se transforma em um n\u00famero de B, ou seja, a cada n\u00famero natural n, o correspondente 2n est\u00e1 em B. Essa correspond\u00eancia que constru\u00edmos \u00e9 uma rela\u00e7\u00e3o biun\u00edvoca e, portanto, eles t\u00eam a mesma quantidade de elementos. Eis o x da quest\u00e3o – esses conjuntos t\u00eam infinitos elementos! Essa \u00e9 uma forma de aprendermos o conceito de infinito. Portanto, dizemos que um conjunto A tem infinitos elementos se existe uma fun\u00e7\u00e3o injetiva do conjunto dos n\u00fameros naturais em A. Supreendentemente (ou n\u00e3o), o conjunto dos n\u00fameros naturais, o conjunto dos n\u00fameros inteiros e o conjunto dos n\u00fameros racionais tem o mesmo \u201cn\u00famero\u201d de elementos. Esses conjuntos s\u00e3o ditos enumer\u00e1veis. No curso de matem\u00e1tica, o primeiro conjunto n\u00e3o enumer\u00e1vel apresentado \u00e9 o conjunto dos n\u00fameros reais (aquele que \u00e9 a uni\u00e3o dos racionais com os irracionais). Neste momento, aprendemos que temos dois tipos de infinitos: enumer\u00e1veis (que est\u00e3o em correspond\u00eancia biun\u00edvoca com o conjunto dos n\u00fameros naturais) e n\u00e3o enumer\u00e1veis (que n\u00e3o s\u00e3o enumer\u00e1veis). Resumindo, o conjunto dos n\u00fameros reais \u00e9 um conjunto n\u00e3o enumer\u00e1vel. Isso significa dizer que tem tanto n\u00famero l\u00e1 dentro que n\u00e3o tem como contar. Dito de outra forma, existem tantos n\u00fameros reais que n\u00e3o conseguimos organiz\u00e1-los em uma lista: primeiro, segundo, terceiro, e assim por diante, sem que algum deles fique de fora….j\u00e1 o conjunto dos n\u00fameros racionais conseguimos contar todos eles (que doido n\u00e3o?). No mundo dos n\u00fameros finitos, uma parte \u00e9 sempre menor que o todo. No infinito, nem sempre. E talvez seja exatamente a\u00ed que o infinito comece a mostrar sua beleza.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n
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