{"id":189,"date":"2017-09-06T14:42:21","date_gmt":"2017-09-06T17:42:21","guid":{"rendered":"http:\/\/www.professores.uff.br\/jcolombo\/?page_id=189"},"modified":"2017-09-18T11:18:49","modified_gmt":"2017-09-18T14:18:49","slug":"algebra-ii-gan00156-b1-12016","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.professores.uff.br\/jcolombo\/algebra-ii-gan00156-b1-12016\/","title":{"rendered":"\u00c1lgebra II – GAN00156 – Turma B1 – 1\/2016"},"content":{"rendered":"

Carga hor\u00e1ria:<\/strong> 68 hs, turma: B1 – Matem\u00e1tica.<\/p>\n

\n

Monitoria:<\/strong> Fernanda Py<\/span>
\nHor\u00e1rio da monitora:<\/strong> 2\u00aa e 5\u00aa das 14 -16hs e nas 3\u00aa 16-20hs.
\nHor\u00e1rio da aula:<\/strong> 2\u00aa e 4\u00aa-feiras na sala IMH-201 das 20-22h.
\nMeu hor\u00e1rio do atendimento:<\/strong> 2\u00aa e 3\u00aa-feiras, das 17-18hs em meu gabinete. O meu gabinete \u00e9 n\u00ba4 do 4\u00ba andar – IME – Valonguinho.<\/p>\n

\n

Orienta\u00e7\u00f5es Gerais<\/a>
\n<\/strong><\/p>\n

\n

Provas<\/strong>
\nP1 <\/a>– 8\/6
\nP2<\/a> – 20\/7 Notas at\u00e9 aqui<\/a>.
\nVR – 27\/7 (Toda a mat\u00e9ria)
\nVS – 1\/8 (Toda a mat\u00e9ria)<\/p>\n

\n

Listas de Exerc\u00edcios e Apostilas<\/strong>
\nApostila 1 – Grupos_mod1<\/a>
\nApostila 2 – Grupos mod2<\/a>
\nApostila 3 – Polin\u00f4mios mod2<\/a>
\nLista 1 pg. 17-20 da apostila grupos-mod1 da Maria Lucia Vilela
\nLista 2 pg. 29-30 da apostila grupos-mod1 da Maria Lucia Vilela
\nLista 3 pg. 44-46 da apostila grupos-mod1 da Maria Lucia Vilela
\nLista 4 pg. 66-70 da apostila grupos-mod2 da Maria Lucia Vilela
\nLista 5 pg 73-74 da apostila grupos-mod2 da Maria Lucia Vilela
\nLista 6 pg. 56 da apostila grupos-mod1 da Maria Lucia Vilela<\/p>\n

Listas de Exerc\u00edcios para a P2<\/strong>
\nLista 1: Exerc\u00edcios da apostila da Maria Lucia Vilela pg.39-42
\nLista 2: Exerc\u00edcios da apostila da Maria Lucia Vilela pg. 50-51.
\nLista 3: Exerc\u00edcios da apostila da Maria Lucia Vilela pg. 70-72.
\nLista 4: Exerc\u00edcios da apostila da Maria Lucia Vilela pg. 81-82.
\nLista 5: Exerc\u00edcios da apostila da Maria Lucia Vilela pg. 88-90.
\nLista 5: Exerc\u00edcios 1,2,3 e 4 da apostila da Maria Lucia Vilela pg. 98-99.<\/p>\n

\n

Cronograma da disciplina
\n<\/strong>
\n25\/4 – N\u00e3o teve aula
\n27\/4 – Apresenta\u00e7\u00e3o do professor e do curso, ementas, data de avalia\u00e7\u00f5es, bibliografia. Defini\u00e7\u00e3o de Grupo.<\/p>\n

02\/5 – Exemplos de grupos e defini\u00e7\u00e3o de subgrupo.
\n04\/5 – Exemplos de Subgrupos, subgrupo gerado por um conjunto.<\/p>\n

09\/5 – Classes laterais e o Teorema de Lagrange.
\n11\/5 – Opera\u00e7\u00f5es com as classes laterais e Subgrupos Normais<\/p>\n

16\/5 – Homomorfismos de grupos e subgrupos gerados pela uni\u00e3o de subgrupos
\n18\/5 – Grupos cicl\u00edcos e o grupo quat\u00e9rnios<\/p>\n

23\/5 – Aula de exerc\u00edcios, e algumas contas no grupo das permuta\u00e7\u00f5es.
\n25\/5 – Grupo das Permuta\u00e7\u00f5es: Grupo Alternado, uma rela\u00e7\u00e3o de equival\u00eancia em Sn (conjuga\u00e7\u00e3o) e estudo preliminar no S4.<\/p>\n

30\/5 – Teorema de Cayley e aula de exerc\u00edcios
\n01\/6 – Classifica\u00e7\u00e3o dos grupos de ordem 6, Grupo Simples e aula de exerc\u00edcios<\/p>\n

05\/6 – Aula de exerc\u00edcios
\n08\/6 – P1<\/a><\/p>\n

13\/6 – N\u00e3o teve aula
\n15\/6 – Resolu\u00e7\u00e3o da P1<\/p>\n

20\/6 – Polin\u00f4mios sobre dom\u00ednios e corpos
\n22\/6 – Polin\u00f4mios, Complexos, Ra\u00edzes de polin\u00f4mios Reais, Interpola\u00e7\u00e3o de Lagrange<\/p>\n

27\/6 – Anatomia dos an\u00e9is (invert\u00edveis, divisores de zero, nilpotentes), anel dos polin\u00f4mios sobre um corpo
\n29\/6 – Polin\u00f4mios com coeficientes em um DFU<\/p>\n

04\/7 – Lema de Gauss, crit\u00e9rios de irredutibilidade (redu\u00e7\u00e3o m\u00f3dulo p, eisenstein), polin\u00f4mio ciclot\u00f4mico, Constru\u00e7\u00e3o de um corpo com 9 elementos.
\n06\/7 – Aula de exerc\u00edcios. Em particular ficou um exerc\u00edcio para se explorar as conex\u00f5es do processo de interpola\u00e7\u00e3o de Lagrange com o processo de divis\u00e3o<\/p>\n

11\/7 – Resolvente e Discriminantes
\n13\/7 – Como resolver a uma equa\u00e7\u00e3o polinomial de grau 3 e o resolvente<\/p>\n

18\/7 – Aula de exerc\u00edcios
\n20\/7 – P2<\/a><\/p>\n

25\/7 – Vistas de P2, corre\u00e7\u00e3o da P2 e indica\u00e7\u00e3o do que vai ser cobrado na VR (Toda a mat\u00e9ria)
\n27\/7 – VR (vou chegar um pouco antes na nossa sala de aula).<\/p>\n

01\/08 – VS Toda a mat\u00e9ria – a prova vai come\u00e7ar as 19:30hs.
\n03\/08 –<\/p>\n

\n

Ementa: GAN00156<\/strong><\/p>\n

1. Ra\u00edzes n-\u00e9simas em um corpo.
\n1.1 A forma trigonom\u00e9trica dos n\u00fameros complexos n\u00e3o-nulos e a multiplica\u00e7\u00e3o de n\u00fameros complexos n\u00e3o-nulos.
\n1.2 Ra\u00edzes n-\u00e9simas em um corpo K. Ra\u00edzes complexas n-\u00e9simas de um complexo n\u00e3o-nulo.
\n1.3 Raizes complexas n-\u00e9simas da unidade. Ra\u00edzes complexas primitivas n-\u00e9simas da unidade.<\/p>\n

2. Polin\u00f4mios sobre dom\u00ednios e corpos.
\n2.1 Rever: polin\u00f4mios sobre an\u00e9is comutativos com unidade, com \u00eanfase em dom\u00ednios, a fun\u00e7\u00e3o grau e propriedades.
\n2.2 O dom\u00ednio D[x], onde D \u00e9 dom\u00ednio: a divis\u00e3o euclidiana por polin\u00f4mios com coeficiente l\u00edder invert\u00edvel. \u03b1 em D \u00e9 raiz de p(x) em D[x] se, e somente se x – \u03b1 divide p(x). Polin\u00f4mios de grau n com coeficientes em um dom\u00ednio D t\u00eam no m\u00e1ximo n ra\u00edzes em D. Multiplicidade das ra\u00edzes.
\n2.3 Corpos algebricamente fechados: defini\u00e7\u00e3o, corpos algebricamente fechados s\u00e3o infinitos, C \u00e9 algebricamente fechado (sem demonstra\u00e7\u00e3o).
\n2.4 K[x], K corpo, \u00e9 um dom\u00ednio principal. Algoritmo de Euclides em K[x] e o m\u00e1ximo divisor comum. Fatora\u00e7\u00e3o \u00fanica em K[x]. MDC e MMC, a partir da fatora\u00e7\u00e3o \u00fanica. Polin\u00f4mios primos entre si. Polin\u00f4mios irredut\u00edveis em K[x] e ideais primos.
\n2.5 Polin\u00f4mios com coeficientes complexos e com coeficientes reais. Teorema Fundamental da \u00c1lgebra em C[x]. Polin\u00f4mios irredut\u00edveis em R[x] e o TFA em R[x].
\n2.6 Se D \u00e9 dom\u00ednio de fatora\u00e7\u00e3o \u00fanica, ent\u00e3o D[x] \u00e9 de fatora\u00e7\u00e3o \u00fanica (n\u00e3o demonstrar). Polin\u00f4mios em Q[x] e em Z[x]. Lema de Gauss. Crit\u00e9rios de irredutibilidade em Q[x].
\n2.7 Resolu\u00e7\u00e3o por radicais: as equa\u00e7\u00f5es do 2\u00ba, 3\u00ba e 4\u00ba graus.
\n3. Grupos
\n3.1 Propriedades elementares. Grupos abelianos e n\u00e3o-abelianos, grupos finitos e infinitos. A ordem de um grupo. O grupo Sn, para todo n \u2265 3, \u00e9 n\u00e3o-abeliano.
\n3.2 Subgrupos: defini\u00e7\u00e3o e exemplos. Subgrupo gerado por um elemento. Ordem de um elemento. C\u00e1lculo dos subgrupos do grupo Z.
\n3.3 A rela\u00e7\u00e3o de equival\u00eancia m\u00f3dulo H, classe \u00e0 direita e classe \u00e0 esquerda, o \u00edndice (G : H). Teorema de Lagrange.
\n3.4 Grupos c\u00edclicos: teorema de estrutura.
\n3.5 Classifica\u00e7\u00e3o dos grupos de ordem prima, ordem 4 e ordem 6. Grupo dos quat\u00e9rnios. Grupos diedrais.<\/p>\n

4. Homomorfismo.
\n4.1 Defini\u00e7\u00e3o, propriedades, n\u00facleo e imagem. Isomorfismo e automorfismo de grupos.
\n4.2 Teorema de Cayley.
\n5. O grupo Sn
\n5.1 A congru\u00eancia m\u00f3dulo \u03b8, onde \u03b8 em Sn. A \u00f3rbita de a por \u03b8, onde a em {1, … ,n}. Os ciclos de \u03b8, r-ciclos, multiplica\u00e7\u00e3o de ciclos.
\n5.2 Toda permuta\u00e7\u00e3o \u00e9 o produto dos seus ciclos. Toda permuta\u00e7\u00e3o \u00e9 produto de 2-ciclos (transposi\u00e7\u00f5es). Permuta\u00e7\u00f5es pares e \u00edmpares. O grupo alternado An das permuta\u00e7\u00f5es pares.<\/p>\n

\n

Bibliografia:<\/strong><\/p>\n

[1] Curso de \u00c1lgebra: Volume 1 e 2, Abramo Hefez, s\u00e9rie Matem\u00e1tica Universit\u00e1ria, IMPA, 2004, 2\u00aa edi\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

[2] Apostilas da Maria Lucia Vilela.<\/p>\n

[3] Elementos de \u00e1lgebra, Arnaldo Garcia e Yves Lequain, Projeto Euclides<\/p>\n

[4] Topics in Alqebra, LN. Herstein, John Wiley & Sons, 2nd editon.<\/p>\n

[5] A First Course in Abstract Alqebra, John B. Fraleigh, Addison Wesley Publishing Company, 1967.<\/p>\n

\n

\u00daltima revis\u00e3o em Julho, 2016.<\/p>\n

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