{"id":229,"date":"2017-09-11T11:21:03","date_gmt":"2017-09-11T14:21:03","guid":{"rendered":"http:\/\/www.professores.uff.br\/jcolombo\/?page_id=229"},"modified":"2017-09-18T11:18:25","modified_gmt":"2017-09-18T14:18:25","slug":"algebra-ii-gan00156-turma-b1-12015","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.professores.uff.br\/jcolombo\/algebra-ii-gan00156-turma-b1-12015\/","title":{"rendered":"\u00c1lgebra II – GAN00156 – Turma B1 – 1\/2015"},"content":{"rendered":"

Carga hor\u00e1ria<\/strong>: 68 hs, turma: B1 – Matem\u00e1tica.<\/p>\n

\n

Monitoria:<\/strong> N\u00e3o temos monitor
\nHor\u00e1rio da aula:<\/strong> 2\u00aa e 4\u00aa-feiras na sala IM-105 das 20-22h.
\nMeu hor\u00e1rio do atendimento<\/strong>: 2\u00aa e 3\u00aa-feiras, das 17-18hs em meu gabinete. O meu gabinete \u00e9 o 4 do 4\u00ba andar – IME – Valonguinho.<\/p>\n

\n

Informa\u00e7\u00f5es sobre o curso:<\/strong><\/p>\n

# A nossa pasta \u00e9 a n\u00ba43 e esta na X\u00e9rox do Instituto de Matem\u00e1tica.<\/p>\n

# Cubo M\u00e1gico ->. Estava seguindo o seguinte texto https:\/\/rubiks.com\/uploads\/general_content\/Rubiks_cube_3x3_solution-en.pdf Mas a Isabelly enviou um link para alguns v\u00eddeos no YouTube que s\u00e3o muito bons \u00e9 do Rafael Cinoto click aqui.<\/a><\/p>\n

\n

Provas<\/strong>
\nP1<\/a> – 06\/05\/2015 – Grupos – trocamos para 11\/05\/2015<\/em>.
\nP2<\/a>– 29\/06\/2015 – An\u00e9is
\nVR<\/a> – 06\/07\/2015 (Toda a mat\u00e9ria)
\nVS<\/a> – 08\/07\/2105 (Toda a mat\u00e9ria)<\/p>\n

\n

Listas de Exerc\u00edcios e Apostilas<\/strong>
\nApostila 1 – Grupos_Mod1<\/a>
\nApostila 2 – Polin\u00f4mios Mod2<\/a><\/p>\n

Roteiro para estudar usando o livro do Arnaldo e do Yves
\n<\/strong>
\nPg. 121 at\u00e9 a 140 (Tudo que estiver ai)
\nPulei a se\u00e7\u00e3o: Subgrupos gerado pela uni\u00e3o de dois subgrupos.
\nPg. 144 – 148: Homomorfismo de grupos fiz at\u00e9 o teorema do isomorfismo, lembro que fiz apenas a parte 1 desse teorema.
\nVer exemplo V.5.11 d\u00e1 pg. 151 at\u00e9 a defini\u00e7\u00e3o V.5.16
\nPg. 155 – Grupos C\u00edclicos at\u00e9 a proposi\u00e7\u00e3o V.6.6 da pg. 156.
\nPg. 169 – Determina\u00e7\u00e3o de todos os grupos <= 11 – Estudar at\u00e9 o grupos de ordem 7. Pg. 198 – Grupo de Permuta\u00e7\u00f5es – pretendo fazer tudo at\u00e9 a p\u00e1gina 225.
\nVoc\u00eas podem tentar fazer os exerc\u00edcios: 1,2,3,6,7,8,9,10,12,13, 17,18,19,20,31,41,42,43,47 e 48.<\/p>\n

Listas para estudar na 2\u00aa parte do curso<\/strong>:
\nLista 1 p\u00e1ginas 41 – 42 da apostila 2 – Polin\u00f4mios-Mod2<\/a>
\nLista 2 p\u00e1ginas 50 – 51 da apostila 2 – Polin\u00f4mios-Mod2
\nLista 3 p\u00e1ginas 70 – 72 da apostila 2 – Polin\u00f4mios-Mod2
\nLista 4 p\u00e1ginas 88 – 90 da apostila 2 – Polin\u00f4mios-Mod2
\nLista 5 baixe aqui.<\/a>
\nLista 6<\/a> Exerc\u00edcios selecionados no livro do Arnaldo e Yves.
\nLista 7<\/a> – Entregue na aula 15JUN.<\/p>\n

\n

Cronograma:<\/strong>
\nProvas P1-06\/05(mudamos para 11\/05), P2-29\/06 VR-06\/07 e VS-08\/07.
\n09\/03 – 1 Apresenta\u00e7\u00f5es, ementas, data de avalia\u00e7\u00f5es, bibliografia.
\n11\/03 – 2 Defini\u00e7\u00e3o de grupo, exemplos de grupos, abelianos, n\u00e3o-abelianos, finitos, infinitos: inteiros, inteiros m\u00f3dulo n, corpos, Diedrais, permuta\u00e7\u00f5es.<\/p>\n

16\/03 – 3 Grupos de permuta\u00e7\u00f5es, subgrupos
\n18\/03 – 4 subgrupos gerados, subgrupo dos comutadores, introduzi a id\u00e9ia de cubo rubik<\/p>\n

23\/03 – 5 Classe laterais e o teorema de Lagrange.
\n25\/03 – 6 Subgrupos Normais e Grupos Quocientes<\/p>\n

30\/03 – 7 Homomorfismo de Grupos, n\u00facleo e imagem
\n01\/04 – 8 exerc\u00edcio<\/p>\n

06\/04 – 9 Grupos C\u00edclicos, se todo elemento do grupo \u00e9 idempotente, ent\u00e3o o grupo e abeliano, classifica\u00e7\u00e3o dos grupos
\n08\/04 – 10 Concluir classifica\u00e7\u00e3o falar sobre o cubo Rubik<\/p>\n

13\/04 – 11 Grupos S_n, exerc\u00edcios – e o final das t\u00e9cnicas para montar o cubo Rubik
\n15\/04 – 12 Grupos Sim\u00e9tricos – defini o grupo alternado<\/p>\n

20\/04 -> S\u00e3o Jorge
\n22\/04 – n\u00e3o darei aula<\/p>\n

27\/04 – 14 Conjuga\u00e7\u00e3o e simplicidade dos A_n se n diferente de 4.
\n29\/04 – 15 Exerc\u00edcios<\/p>\n

04\/05 – 16 – Teste
\n06\/05 – 17 – Objetivos da 2\u00aa parte do curso: Id\u00e9ias de Kummer para demonstrar o \u00faltimo Teorema de Fermat. Iniciei introduzindo o anel dos Polin\u00f4mios, Dom\u00ednio Euclidiano exemplos: Inteiros, Inteiros de Gauss, K[X].<\/p>\n

11\/05 – 18 – P1
\n13\/05 – 19 – Corre\u00e7\u00e3o da P1 e depois recordar: Dom\u00ednios de Fatora\u00e7\u00e3o \u00fanica e DIP, Calculo de MDC nos polin\u00f4mios.<\/p>\n

18\/05 – 20 – Dom\u00ednio Euclidianos, DIP, DFU e MDC
\n20\/05 – 21 – Lema de Gauss, Ra\u00edzes e fatores nos polin\u00f4mios, Entrega e vista da P1.<\/p>\n

25\/05 – 22 – Crit\u00e9rios de irredutibilidade em Q[x]
\n27\/05 – 23 – Ra\u00edzes da Unidade<\/p>\n

01\/06 – 24 – Resolvendo x^2+y^2=z^2
\n03\/06 – 25 – Consequ\u00eancias da equa\u00e7\u00e3o x^2+y^2=z^2; propriedades dos an\u00e9is: Inteiros de Gauss e Inteiros de Eisenstein – conclu\u00ed a mat\u00e9ria<\/p>\n

08\/06 – N\u00e3o haver\u00e1 aula
\n10\/06 – N\u00e3o haver\u00e1 aula<\/p>\n

15\/06 – 26 – Exerc\u00edcios
\n17\/06 – 27 – Exerc\u00edcios<\/p>\n

22\/06 – 28 – Exerc\u00edcios
\n24\/06 – 29 – Exerc\u00edcios<\/p>\n

29\/06 – 30 – P2
\n01\/07 – 31 – Exerc\u00edcios, resolu\u00e7\u00e3o da P2, vista de prova<\/p>\n

06\/07 – 32 – VR
\n08\/07 – 33 – VS<\/p>\n

13\/07
\n15\/07<\/p>\n

\n

Ementa: GAN00156<\/strong>
\n1. Ra\u00edzes n-\u00e9simas em um corpo.
\n1.1 A forma trigonom\u00e9trica dos n\u00fameros complexos n\u00e3o-nulos e a multiplica\u00e7\u00e3o de n\u00fameros complexos n\u00e3o-nulos.
\n1.2 Ra\u00edzes n-\u00e9simas em um corpo K. Ra\u00edzes complexas n-\u00e9simas de um complexo n\u00e3o-nulo.
\n1.3 Raizes complexas n-\u00e9simas da unidade. Ra\u00edzes complexas primitivas n-\u00e9simas da unidade.<\/p>\n

2. Polin\u00f4mios sobre dom\u00ednios e corpos.
\n2.1 Rever: polin\u00f4mios sobre an\u00e9is comutativos com unidade, com \u00eanfase em dom\u00ednios, a fun\u00e7\u00e3o grau e propriedades.
\n2.2 O dom\u00ednio D[x], onde D \u00e9 dom\u00ednio: a divis\u00e3o euclidiana por polin\u00f4mios com coeficiente l\u00edder invert\u00edvel. \u03b1 em D \u00e9 raiz de p(x) em D[x] se, e somente se x – \u03b1 divide p(x). Polin\u00f4mios de grau n com coeficientes em um dom\u00ednio D t\u00eam no m\u00e1ximo n ra\u00edzes em D. Multiplicidade das ra\u00edzes.
\n2.3 Corpos algebricamente fechados: defini\u00e7\u00e3o, corpos algebricamente fechados s\u00e3o infinitos, C \u00e9 algebricamente fechado (sem demonstra\u00e7\u00e3o).
\n2.4 K[x], K corpo, \u00e9 um dom\u00ednio principal. Algoritmo de Euclides em K[x] e o m\u00e1ximo divisor comum. Fatora\u00e7\u00e3o \u00fanica em K[x]. MDC e MMC, a partir da fatora\u00e7\u00e3o \u00fanica. Polin\u00f4mios primos entre si. Polin\u00f4mios irredut\u00edveis em K[x] e ideais primos.
\n2.5 Polin\u00f4mios com coeficientes complexos e com coeficientes reais. Teorema Fundamental da \u00c1lgebra em C[x]. Polin\u00f4mios irredut\u00edveis em R[x] e o TFA em R[x].
\n2.6 Se D \u00e9 dom\u00ednio de fatora\u00e7\u00e3o \u00fanica, ent\u00e3o D[x] \u00e9 de fatora\u00e7\u00e3o \u00fanica (n\u00e3o demonstrar). Polin\u00f4mios em Q[x] e em Z[x]. Lema de Gauss. Crit\u00e9rios de irredutibilidade em Q[x].
\n2.7 Resolu\u00e7\u00e3o por radicais: as equa\u00e7\u00f5es do 2\u00ba, 3\u00ba e 4\u00ba graus.<\/p>\n

3. Grupos
\n3.1 Propriedades elementares. Grupos abelianos e n\u00e3o-abelianos, grupos finitos e infinitos. A ordem de um grupo. O grupo Sn, para todo n \u2265 3, \u00e9 n\u00e3o-abeliano.
\n3.2 Subgrupos: defini\u00e7\u00e3o e exemplos. Subgrupo gerado por um elemento. Ordem de um elemento. C\u00e1lculo dos subgrupos do grupo Z.
\n3.3 A rela\u00e7\u00e3o de equival\u00eancia m\u00f3dulo H, classe \u00e0 direita e classe \u00e0 esquerda, o \u00edndice (G : H). Teorema de Lagrange.
\n3.4 Grupos c\u00edclicos: teorema de estrutura.
\n3.5 Classifica\u00e7\u00e3o dos grupos de ordem prima, ordem 4 e ordem 6. Grupo dos quat\u00e9rnios. Grupos diedrais.<\/p>\n

4. Homomorfismo.
\n4.1 Defini\u00e7\u00e3o, propriedades, n\u00facleo e imagem. Isomorfismo e automorfismo de grupos.
\n4.2 Teorema de Cayley.<\/p>\n

5. O grupo Sn
\n5.1 A congru\u00eancia m\u00f3dulo \u03b8, onde \u03b8 em Sn. A \u00f3rbita de a por \u03b8, onde a em {1, … ,n}. Os ciclos de \u03b8, r-ciclos, multiplica\u00e7\u00e3o de ciclos.
\n5.2 Toda permuta\u00e7\u00e3o \u00e9 o produto dos seus ciclos. Toda permuta\u00e7\u00e3o \u00e9 produto de 2-ciclos (transposi\u00e7\u00f5es). Permuta\u00e7\u00f5es pares e \u00edmpares. O grupo alternado An das permuta\u00e7\u00f5es pares.<\/p>\n

\n

Bibliografia:<\/strong>
\n[1] Introdu\u00e7\u00e3o \u00e0 \u00c1lgebra, Adilson Gon\u00e7alves, Projeto Euclides, IMPA, 2000.<\/p>\n

[2] Topics in Alqebra, LN. Herstein, John Wiley & Sons, 2nd editon.<\/p>\n

[3] A First Course in Absiract Alqebra, John B. Fraleigh, Addison Wesley Publishing Company, 1967.<\/p>\n

\n

\u00faltima revis\u00e3o em Julho, 2015.<\/p>\n

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