Postado 25/ago/2026 -
Os primeiros números que aprendemos em nossa infância são os números naturais. O jeito mais intuitivo disso é contando os objetos ao nosso redor. Por volta de 3000 a.C já existia sistemas de contagem mas o que conhecemos hoje como conjunto dos números naturais (ou conjunto de contagem) só foi formalizado em 1889 pelo matemático italiano Giuseppe Peano quando apresentou axiomas que hoje são conhecidos como Axiomas de Peano. Esses axiomas são a base dos números naturais e o que nos permitiu desenvolver todos os resultados que conhecemos atualmente a respeito desse conjunto. Voltando à nossa infância, quando contamos objetos, fazemos algo aparentemente muito simples: apontamos para cada objeto e dizemos 1,2,3,…. Sem perceber, estamos estabelecendo uma correspondência entre os números e os objetos. Ora, isso é exatamente a definição de uma função entre conjuntos. Aqueles que cursam matemática, aprendem principalmente na disciplina de Análise Real que contar objetos de um conjunto nada mais é que construir uma função que a cada número natural está associado a um elemento (objeto) do conjunto. Mais precisamente, dizer que um conjunto A tem n elementos significa dizer que existe uma relação biunívoca entre o conjunto {1,2,…,n} e A, isto é, cada elemento do conjunto A está associado a um e somente um número entre 1 e n. Essa é a definição de um conjunto finito. Mas agora eu faço a seguinte pergunta: qual conjunto tem mais elementos: A={1,2,3,4,5,…} ou B={2,4,6,8,…}? Simples, todos os elementos de B fazem parte de A, porém, o número 1 está em A e não está em B, portanto A tem mais elementos que B. Mas por outro lado, todo número de A se transforma em um número de B, ou seja, a cada número natural n, o correspondente 2n está em B. Essa correspondência que construímos é uma relação biunívoca e, portanto, eles têm a mesma quantidade de elementos. Eis o x da questão – esses conjuntos têm infinitos elementos! Essa é uma forma de aprendermos o conceito de infinito. Portanto, dizemos que um conjunto A tem infinitos elementos se existe uma função injetiva do conjunto dos números naturais em A. Supreendentemente (ou não), o conjunto dos números naturais, o conjunto dos números inteiros e o conjunto dos números racionais tem o mesmo “número” de elementos. Esses conjuntos são ditos enumeráveis. No curso de matemática, o primeiro conjunto não enumerável apresentado é o conjunto dos números reais (aquele que é a união dos racionais com os irracionais). Neste momento, aprendemos que temos dois tipos de infinitos: enumeráveis (que estão em correspondência biunívoca com o conjunto dos números naturais) e não enumeráveis (que não são enumeráveis). Resumindo, o conjunto dos números reais é um conjunto não enumerável. Isso significa dizer que tem tanto número lá dentro que não tem como contar. Dito de outra forma, existem tantos números reais que não conseguimos organizá-los em uma lista: primeiro, segundo, terceiro, e assim por diante, sem que algum deles fique de fora….já o conjunto dos números racionais conseguimos contar todos eles (que doido não?). No mundo dos números finitos, uma parte é sempre menor que o todo. No infinito, nem sempre. E talvez seja exatamente aí que o infinito comece a mostrar sua beleza.
