Renata de Freitas

Renata de Freitas
freitas @ vm.uff.br

Lattes CV

GAN 00140 – Álgebra Linear, 2017-1

Info

Turma E1, 9h-11h, segundas – sala 405, quartas – sala 505, Bloco H, Praia Vermelha.
Curso: Engenharia de Produção
Profa. Renata de Freitas

Calendário:

Início das aulas: 20 de março, segunda-feira.

Folgas: 08 e 10 de maio – XVIII Encontro Brasileiro de Lógica.

Verificações da aprendizagem:
17 de maio – V1
03 de julho – V2
10 de julho – 2a chamada
17 de julho – VS
A divulgação dos resultados e a vista de prova ocorrerão sempre na aula seguinte à realização de cada verificação de aprendizagem.

Resultados: Resultados, Gabarito V1.

Monitoria

Nicole
Segundas e quartas, 09-11h
Quintas, 14-18h
Sala H-504 Gragoatá

Nilton
Segundas e quartas, 14-18h
Sala H-504 Gragoatá

Tatiane
Terças, 9h30-13h30
Quintas, 14-14h
Sala H-504 Gragoatá

Referências

H. Anton, C. Rorres, Álgebra Linear com Aplicações, décima edição, Bookman, 2012.

J. Colombo, J. Koiller, Álgebra Linear (texto em preparação), GAN/IME-UFF, 2014: NotasColomboKoiller_EM_PREPARACAO.pdf. *** livro-texto ***

*** Para cada erro encontrado no texto Colombo-Koiller, o primeiro aluno que reportar o erro para o email freitas @ vm.uff.br ganha 0,1 ponto na nota da primeira prova. ***

S. Lipschutz, M.L. Lipson, Álgebra Linear, quarta edição, Bookman, 2011 (Coleção Schaum).

D. Poole, Álgebra Linear, Pioneira Thomson Learning, 2004.

J. L. Boldrini et al., Álgebra Linear, Harbra, 1978.

C. A. Callioli, H. Domingues, R. C. F. Costa, Álgebra Linear e Aplicações, Atual, 1993.

Exercícios

12/4/2017:

  1. Mostre que a operação elementar de substituir uma equação de um sistema de equações lineares pela soma desta equação com uma outra equação não altera o conjunto de soluções do sistema.
  2. Caracterize os subespaços vetoriais de R3 de maneira análoga à seguinte caracterização dos subespaços vetoriais de R2:
    Se S é um subespaço vetorial de R2, então S é:
    {(0,0)}
    (conjunto contendo apenas o vetor nulo),
    a origem,
    o conjunto de soluções do sistema { x=0 , y=0 }; ou
    {c(a,b) / c real}, com (a,b) não nulo
    (conjunto de múltiplos de um vetor não nulo),
    uma reta passando pela origem,
    o conjunto de soluções do sistema { bx-ay=0 , 0=0 }; ou
    {e(a,b)+f(c,d) / e,f reais}, com (a,b) não múltiplo de (c,d)
    (conjunto das combinações lineares de dois vetores que não são múltiplos um do outro),
    o plano R2,
    o conjunto de soluções do sistema { 0=0 , 0=0 }.
  3. Resolva os exercícios do Capítulo 2 do Colombo-Koiller: P2.1 – P2.13.
  4. Resolva os exercícios do Capítulo 3 do Colombo-Koiller: P3.1 – P3.8.
  5. Resolva os exercícios do Capítulo 4 do Colombo-Koiller: P4.1, P4.2.
  6. Resolva os exercícios do Anton-Rorres pp. 167ss (8a ed.), / pp. 188ss (10a ed.), itens 1, 6, 7, 8.

22/3/2017:

  1. Aplique o procedimento apresentado na Seção 1.7.3 (pp. 24-25) do Colombo-Koiller (versão apresentada em sala) para encontrar a matriz na forma escalonada das matrizes ampliadas dos seguintes sistemas de equações lineares. Descreva também o conjunto solução destes sistemas e classifique-os em Possível determinado, Possível indeterminado ou Impossível. (Para facilitar a visualização, os sistemas serão apresentados como um conjunto de equações.)
    (a) { x-y=1 , 2x+y=6 }
    (b) { x+y=4 , 3x+3y=6 }
    (c) { 4x-2y=1 , 16x-8y=4 }
    (d) { 2x-y=4 }
    (e) { x-3y=-1 , 2x+y=5 }
    (f) { 6x+3y=9 , 2x+y=5 }
    (g) { 6x+3y=15 , 2x+y=5 }
    (h) { 4x-y+3z=-1 , 3x+y+9z=-4 }
    (i) { x+y+2z=9 , 2x+4y-3z=1 , 3x+6y-5z=0 }
    (j) { x+y+2z=0 , 2x+4y-3z=0 , 3x+6y-5z=0 }
    (k) { -3y-6z+4w=9 , -x-2y-z+3w=1 , -2x-3y+3w=-1 , x+4y+5z-9w=-7 }
    (l) { x+3y-2z+2w=0 , 2x+6y-5z-2w+4u-3v=-1 , 5z+10w+15v=5 , 2x+6y+8w+5u+18v=6 }
    Sugestão: use a calculadora de operações elementares para resolver os itens (h) e (l).
  2. Resolva os exercícios do Capítulo 1 do Colombo-Koiller (pp. 29-31).
  3. Resolva os exercícios do Anton-Rorres pp. 30-31 (8a ed.) / pp. 9-10 (10a ed.).

29/3/2017:

  1. Resolva os exercícios do Anton-Rorres pp. 37-41 (8a ed.) números 1-19, 22-23, 27-32 / pp. 22-25 (10a ed.) números 1-32, 39-44.
  2. Resolva os exercícios do Anton-Rorres pp. 59-61 (8a ed.) números 1-21 / pp. 58-60 (10a ed.) números 1-44.
  3. Resolva os exercícios do Anton-Rorres pp. 64-66 (8a ed.) números 1-30 / pp. 65-66 (10a ed.) números 1-25.

3/4/2017:

  1. Em cada item, escalonando uma única matriz: (a) resolva o sistema, (b) encontre a inversa da matriz dos coeficientes, se existir, (c) calcule o determinante da matriz dos coeficientes. (Para facilitar a visualização, os sistemas serão apresentados como um conjunto de equações.)
    (3) { 2x-y=4 , x+y=2 }
    (4) { 2x-y=4 , -2x+y=0 }
    (1) { x+y+2z=5 , 2x-y-z=2 , -x+2z=3 }
    (2) { 4x-y+3z=-1 , 3x+y+9z=-4 , x-2y-6z=3 }
    Sugestão: use a calculadora de operações elementares se as continhas complicarem.
  2. Resolva os exercícios do Capítulo 6 do Colombo-Koiller (pp. 153ss).
  3. Resolva os exercícios do Capítulo 2 do Anton-Rorres.

11/5/2017:

  1. Mostre que o conjunto dos múltiplos de um vetor não nulo de Rn é (1) um conjunto não vazio, (2) fechado sob multiplicação por escalar, (3) fechado sob adição de vetores.
  2. Encontre um sistema de equações lineares homogêneo cujo conjunto de soluções seja o conjunto dos múltiplos do vetor (2,0,-3).
  3. Mostre que:
    (a) Se u é múltiplo de v, então ger{u,v}=ger{u}.
    (b) Se v pertence a gerA, então ger(A-{v})=gerA.
    (c) Se v pertence a A, então v pertence a gerA.
  4. Encontre o espaço gerado pelos seguintes conjuntos de vetores e classifique os conjuntos como LI ou LD.
    A={(1,2,1),(-2,-4,-2)}
    B={(3,-1,0),(2,1,0),(0,0,7)}
    C={(-1,1,-1),(1,1,-1),(1,1,1)}
    C’={(-1,-1,1),(1,1,-1),(-1,1,1)}
    D={(0,0,0)}
    E={(1,2),(3,4),(5,6)}

Espaços vetoriais:

Subespaços vetoriais:

Combinações lineares:

Espaço gerado:

Dependência linear:

31/5/2017:

  1. O conjunto B’={(1,0,0),(1,0,1),(0,0,0)} é LI?
  2. O conjunto B”={(1,0,0),(1,0,1)} é LI?
  3. Podemos afirmar que ger(B’)=ger(B’)?
  4. Em cada item a seguir, determine Im(T) e verifique se o espaço gerado pelas imagens dos vetores da base canônica de V é Im(T).
    (a)V=R2, T(x,y)=(2x-y,y,3x).
    (b)V=R4, T(x,y,z,w)=(x+y,x,y).
  5. Verdadeiro ou falso: se T é uma transformação linear de V em W e B é uma base de V, então o espaço gerado pelas imagens dos vetores em B é Im(T).
  6. Resolva os exercícios do Capítulo 5 do Colombo-Koiller.
  7. Resolva os exercícios do Capítulo 8 do Anton-Rorres.

7/6/2017:

Exercícios para a prova: pdf.

Vídeo

Uma aplicação de Álgebra Linear a ferramentas de busca na internet: Isto é Matemática, 1a temporada, episódio 2.

Ferramenta online

Calculadora para operações elementares (site em inglês): Row operation calculator.

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