Carga horária: 68 hs, turma: B1 – Matemática.
Monitoria: Fernanda Py
Horário da monitora: 2ª e 5ª das 14 -16hs e nas 3ª 16-20hs.
Horário da aula: 2ª e 4ª-feiras na sala IMH-201 das 20-22h.
Meu horário do atendimento: 2ª e 3ª-feiras, das 17-18hs em meu gabinete. O meu gabinete é nº4 do 4º andar – IME – Valonguinho.
Provas
P1 – 8/6
P2 – 20/7 Notas até aqui.
VR – 27/7 (Toda a matéria)
VS – 1/8 (Toda a matéria)
Listas de Exercícios e Apostilas
Apostila 1 – Grupos_mod1
Apostila 2 – Grupos mod2
Apostila 3 – Polinômios mod2
Lista 1 pg. 17-20 da apostila grupos-mod1 da Maria Lucia Vilela
Lista 2 pg. 29-30 da apostila grupos-mod1 da Maria Lucia Vilela
Lista 3 pg. 44-46 da apostila grupos-mod1 da Maria Lucia Vilela
Lista 4 pg. 66-70 da apostila grupos-mod2 da Maria Lucia Vilela
Lista 5 pg 73-74 da apostila grupos-mod2 da Maria Lucia Vilela
Lista 6 pg. 56 da apostila grupos-mod1 da Maria Lucia Vilela
Listas de Exercícios para a P2
Lista 1: Exercícios da apostila da Maria Lucia Vilela pg.39-42
Lista 2: Exercícios da apostila da Maria Lucia Vilela pg. 50-51.
Lista 3: Exercícios da apostila da Maria Lucia Vilela pg. 70-72.
Lista 4: Exercícios da apostila da Maria Lucia Vilela pg. 81-82.
Lista 5: Exercícios da apostila da Maria Lucia Vilela pg. 88-90.
Lista 5: Exercícios 1,2,3 e 4 da apostila da Maria Lucia Vilela pg. 98-99.
Cronograma da disciplina
25/4 – Não teve aula
27/4 – Apresentação do professor e do curso, ementas, data de avaliações, bibliografia. Definição de Grupo.
02/5 – Exemplos de grupos e definição de subgrupo.
04/5 – Exemplos de Subgrupos, subgrupo gerado por um conjunto.
09/5 – Classes laterais e o Teorema de Lagrange.
11/5 – Operações com as classes laterais e Subgrupos Normais
16/5 – Homomorfismos de grupos e subgrupos gerados pela união de subgrupos
18/5 – Grupos ciclícos e o grupo quatérnios
23/5 – Aula de exercícios, e algumas contas no grupo das permutações.
25/5 – Grupo das Permutações: Grupo Alternado, uma relação de equivalência em Sn (conjugação) e estudo preliminar no S4.
30/5 – Teorema de Cayley e aula de exercícios
01/6 – Classificação dos grupos de ordem 6, Grupo Simples e aula de exercícios
05/6 – Aula de exercícios
08/6 – P1
13/6 – Não teve aula
15/6 – Resolução da P1
20/6 – Polinômios sobre domínios e corpos
22/6 – Polinômios, Complexos, Raízes de polinômios Reais, Interpolação de Lagrange
27/6 – Anatomia dos anéis (invertíveis, divisores de zero, nilpotentes), anel dos polinômios sobre um corpo
29/6 – Polinômios com coeficientes em um DFU
04/7 – Lema de Gauss, critérios de irredutibilidade (redução módulo p, eisenstein), polinômio ciclotômico, Construção de um corpo com 9 elementos.
06/7 – Aula de exercícios. Em particular ficou um exercício para se explorar as conexões do processo de interpolação de Lagrange com o processo de divisão
11/7 – Resolvente e Discriminantes
13/7 – Como resolver a uma equação polinomial de grau 3 e o resolvente
18/7 – Aula de exercícios
20/7 – P2
25/7 – Vistas de P2, correção da P2 e indicação do que vai ser cobrado na VR (Toda a matéria)
27/7 – VR (vou chegar um pouco antes na nossa sala de aula).
01/08 – VS Toda a matéria – a prova vai começar as 19:30hs.
03/08 –
Ementa: GAN00156
1. Raízes n-ésimas em um corpo.
1.1 A forma trigonométrica dos números complexos não-nulos e a multiplicação de números complexos não-nulos.
1.2 Raízes n-ésimas em um corpo K. Raízes complexas n-ésimas de um complexo não-nulo.
1.3 Raizes complexas n-ésimas da unidade. Raízes complexas primitivas n-ésimas da unidade.
2. Polinômios sobre domínios e corpos.
2.1 Rever: polinômios sobre anéis comutativos com unidade, com ênfase em domínios, a função grau e propriedades.
2.2 O domínio D[x], onde D é domínio: a divisão euclidiana por polinômios com coeficiente líder invertível. α em D é raiz de p(x) em D[x] se, e somente se x – α divide p(x). Polinômios de grau n com coeficientes em um domínio D têm no máximo n raízes em D. Multiplicidade das raízes.
2.3 Corpos algebricamente fechados: definição, corpos algebricamente fechados são infinitos, C é algebricamente fechado (sem demonstração).
2.4 K[x], K corpo, é um domínio principal. Algoritmo de Euclides em K[x] e o máximo divisor comum. Fatoração única em K[x]. MDC e MMC, a partir da fatoração única. Polinômios primos entre si. Polinômios irredutíveis em K[x] e ideais primos.
2.5 Polinômios com coeficientes complexos e com coeficientes reais. Teorema Fundamental da Álgebra em C[x]. Polinômios irredutíveis em R[x] e o TFA em R[x].
2.6 Se D é domínio de fatoração única, então D[x] é de fatoração única (não demonstrar). Polinômios em Q[x] e em Z[x]. Lema de Gauss. Critérios de irredutibilidade em Q[x].
2.7 Resolução por radicais: as equações do 2º, 3º e 4º graus.
3. Grupos
3.1 Propriedades elementares. Grupos abelianos e não-abelianos, grupos finitos e infinitos. A ordem de um grupo. O grupo Sn, para todo n ≥ 3, é não-abeliano.
3.2 Subgrupos: definição e exemplos. Subgrupo gerado por um elemento. Ordem de um elemento. Cálculo dos subgrupos do grupo Z.
3.3 A relação de equivalência módulo H, classe à direita e classe à esquerda, o índice (G : H). Teorema de Lagrange.
3.4 Grupos cíclicos: teorema de estrutura.
3.5 Classificação dos grupos de ordem prima, ordem 4 e ordem 6. Grupo dos quatérnios. Grupos diedrais.
4. Homomorfismo.
4.1 Definição, propriedades, núcleo e imagem. Isomorfismo e automorfismo de grupos.
4.2 Teorema de Cayley.
5. O grupo Sn
5.1 A congruência módulo θ, onde θ em Sn. A órbita de a por θ, onde a em {1, … ,n}. Os ciclos de θ, r-ciclos, multiplicação de ciclos.
5.2 Toda permutação é o produto dos seus ciclos. Toda permutação é produto de 2-ciclos (transposições). Permutações pares e ímpares. O grupo alternado An das permutações pares.
Bibliografia:
[1] Curso de Álgebra: Volume 1 e 2, Abramo Hefez, série Matemática Universitária, IMPA, 2004, 2ª edição.
[2] Apostilas da Maria Lucia Vilela.
[3] Elementos de álgebra, Arnaldo Garcia e Yves Lequain, Projeto Euclides
[4] Topics in Alqebra, LN. Herstein, John Wiley & Sons, 2nd editon.
[5] A First Course in Abstract Alqebra, John B. Fraleigh, Addison Wesley Publishing Company, 1967.
Última revisão em Julho, 2016.
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