Carga horária: 68 hs, turma: B – Matemática.
Monitoria:
Horário da aula: 3ª e 5ª-feiras na sala IM-105 das 09-11h.
Meu horário de atendimento: 3ª e 5ª-feiras, das 14-18hs em meu gabinete. O meu gabinete é o 4 do 4º andar – IME – Valonguinho.
Provas
P1 – 25/09/2014 – mudamos para (02/10/2014)
P2 – 27/11/2014 – mudamos para (02/12/2014)
VR – 09/12/2014 (Toda a matéria)
Resultados da VR aplicada dia 09/12 – Vista da VR dia 10/12 das 16-17hs.
VS – 11/12/2014 (Toda a matéria)
Resultados da VS aplicada dia 11/12 – Vista da VR dia 15/12 (2ª-feira) das 17-18hs.
Listas de Exercícios e Apostilas
Apostila 1 – Grupos_Mod1
Apostila 2 – Grupos_Mod2
Lista 1 – exercícios a partir da pág. 18 da apostila Grupos_mod1
Lista 2 – exercícios a partir da pág. 31 da apostila Grupos_mod1
Lista 3 – exercícios a partir da pág. 43 da apostila Grupos_mod1
Lista 4 – exercícios a partir da pág. 55 da apostila Grupos_mod1
Lista 5 – exercícios a partir da pág. 65 da apostila Grupos_mod2
Lista 6 – Click aqui.
Roteiro para estudar usando o livro do Arnaldo e do Yves
Pg. 121 até a 140 (Tudo que estiver ai)
Pulei a seção: Subgrupos gerado pela união de dois subgrupos.
Pg. 144 – 148: Homomorfismo de grupos fiz até o teorema do isomorfismo, lembro que fiz apenas a parte 1 desse teorema.
Ver exemplo V.5.11 dá pg. 151 até a definição V.5.16
Pg. 155 – Grupos Cíclicos até a proposição V.6.6 da pg. 156.
Pg. 169 – Determinação de todos os grupos <= 11 – Estudar até o grupos de ordem 7. Pg. 198 – Grupo de Permutações – pretendo fazer tudo até a página 225. Vocês podem tentar fazer os exercícios: 1,2,3,6,7,8,9,10,12,13, 17,18,19,20,31,41,42,43,47 e 48.
Cronograma:
05/08 – 1 Aula inaugural – ementa, bibliografia e avaliação
07/08 – 2 Definição de Grupo – vários exemplos
12/08 – 3 Subgrupo, exemplos, classes de subgrupos. – Apresentei o Cubo Rubik ou Cubo Mágico
14/08 – 4 Subgrupo gerado e algumas informações sobre os grupos cíclicos – Alguns subgrupos do grupos do cubo
19/08 – 4 Classes laterais e o teorema de Lagrange – cálculo da quantidade de permutações de um cubo
21/08 – 5 Aplicação do teorma de Lagrange – 1ª técnica para montar o cubo
26/08 – 6 Subgrupos Normais – 2ª técnica para montar o cubo
28/08 – 7 Homomorfismo de grupos – 3ª técnicas para montar o cubo
02/09 – 8 Grupos Cíclicos e Exercícios – 4ª e última técnica para montar o cubo
04/09 – 9 Grupo de Permutações 1 – Sumarizando as técnicas para solucionar o cubo
09/09 -10 Grupo de Permutações 2 Transposições e paridade de uma permutação – O cubo e S48
11/09 -11 Grupo de Permutações 3 – Conjugação em Sn e classes de conjugação
16/09 – 12 Grupo de Permutações 4 – simplicidade de An e Exercícios
18/09 – 13 Exercícios
23/09 -14 Exercícios
25/09 -15 Exercícios – Pensando no Cubo: Como construir “movimentos bacanas”
30/09 – Não haverá aula – Colóquio de Matemática Região Nordeste
02/10 – P1 – horário normal
07/10 – 16 Correção – Raízes da unidade
09/10 – 17 Polinômios -> definição, algoritmo da divisão, ideais
14/10 – Semana da Matemática UFF
16/10 – Semana da Matemática UFF
21/10 – 19 Não haverá aula – Correção OBMEP
23/10 – 20 Não haverá aula – Correção OBMEP
28/10 – Dia do Servidor Público
30/10 – P1′
04/11 – Fatos gerais sobre Domínios Euclidianos e de Fatoração Única
06/11 – Entrega das provas – fatos sobre domínios: de Fatoração, Principais e Euclidianos
11/11 – Fatoração Única no Anel dos Polinômios
13/11 – Raízes, Polinômios e Critérios de Irredutibilidade – Parte 1
18/11 – Critérios de Irredutibilidade – Parte 2
20/11 – Feriado não haverá aula.
25/11 – Exercícios
27/11 – Exercícios
02/12 – P2 –
04/12 – Vista da prova e aula de exercícios
09/12 – VR – Toda a matéria
11/12 – VS – Toda a matéria
Ementa: GAN00166
1. Raízes n-ésimas em um corpo.
1.1 A forma trigonométrica dos números complexos não-nulos e a multiplicação de números complexos não-nulos.
1.2 Raízes n-ésimas em um corpo K. Raízes complexas n-ésimas de um complexo não-nulo.
1.3 Raizes complexas n-ésimas da unidade. Raízes complexas primitivas n-ésimas da unidade.
2. Polinômios sobre domínios e corpos.
2.1 Rever: polinômios sobre anéis comutativos com unidade, com ênfase em domínios, a função grau e propriedades.
2.2 O domínio D[x], onde D é domínio: a divisão euclidiana por polinômios com coeficiente líder invertível. α em D é raiz de p(x) em D[x] se, e somente se x – α divide p(x). Polinômios de grau n com coeficientes em um domínio D têm no máximo n raízes em D. Multiplicidade das raízes.
2.3 Corpos algebricamente fechados: definição, corpos algebricamente fechados são infinitos, C é algebricamente fechado (sem demonstração).
2.4 K[x], K corpo, é um domínio principal. Algoritmo de Euclides em K[x] e o máximo divisor comum. Fatoração única em K[x]. MDC e MMC, a partir da fatoração única. Polinômios primos entre si. Polinômios irredutíveis em K[x] e ideais primos.
2.5 Polinômios com coeficientes complexos e com coeficientes reais. Teorema Fundamental da Álgebra em C[x]. Polinômios irredutíveis em R[x] e o TFA em R[x].
2.6 Se D é domínio de fatoração única, então D[x] é de fatoração única (não demonstrar). Polinômios em Q[x] e em Z[x]. Lema de Gauss. Critérios de irredutibilidade em Q[x].
2.7 Resolução por radicais: as equações do 2º, 3º e 4º graus.
3. Grupos
3.1 Propriedades elementares. Grupos abelianos e não-abelianos, grupos finitos e infinitos. A ordem de um grupo. O grupo Sn, para todo n ≥ 3, é não-abeliano.
3.2 Subgrupos: definição e exemplos. Subgrupo gerado por um elemento. Ordem de um elemento. Cálculo dos subgrupos do grupo Z.
3.3 A relação de equivalência módulo H, classe à direita e classe à esquerda, o índice (G : H). Teorema de Lagrange.
3.4 Grupos cíclicos: teorema de estrutura.
3.5 Classificação dos grupos de ordem prima, ordem 4 e ordem 6. Grupo dos quatérnios. Grupos diedrais.
4. Homomorfismo.
4.1 Definição, propriedades, núcleo e imagem. Isomorfismo e automorfismo de grupos.
4.2 Teorema de Cayley.
5. O grupo Sn
5.1 A congruência módulo θ, onde θ em Sn. A órbita de a por θ, onde a em {1, … ,n}. Os ciclos de θ, r-ciclos, multiplicação de ciclos.
5.2 Toda permutação é o produto dos seus ciclos. Toda permutação é produto de 2-ciclos (transposições). Permutações pares e ímpares. O grupo alternado An das permutações pares.
Bibliografia:
[1] Introdução à Álgebra, Adilson Gonçalves, Projeto Euclides, IMPA, 2000.
[2] Topics in Alqebra, LN. Herstein, John Wiley & Sons, 2nd editon.
[3] A First Course in Absiract Alqebra, John B. Fraleigh, Addison Wesley Publishing Company, 1967.
Última revisão em Janeiro, 2015.
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