Carga horária: 68 hs, turma: B1 – Matemática.
Monitoria: Não temos monitor
Horário da aula: 2ª e 4ª-feiras na sala IM-105 das 20-22h.
Meu horário do atendimento: 2ª e 3ª-feiras, das 17-18hs em meu gabinete. O meu gabinete é o 4 do 4º andar – IME – Valonguinho.
Informações sobre o curso:
# A nossa pasta é a nº43 e esta na Xérox do Instituto de Matemática.
# Cubo Mágico ->. Estava seguindo o seguinte texto https://rubiks.com/uploads/general_content/Rubiks_cube_3x3_solution-en.pdf Mas a Isabelly enviou um link para alguns vídeos no YouTube que são muito bons é do Rafael Cinoto click aqui.
Provas
P1 – 06/05/2015 – Grupos – trocamos para 11/05/2015.
P2– 29/06/2015 – Anéis
VR – 06/07/2015 (Toda a matéria)
VS – 08/07/2105 (Toda a matéria)
Listas de Exercícios e Apostilas
Apostila 1 – Grupos_Mod1
Apostila 2 – Polinômios Mod2
Roteiro para estudar usando o livro do Arnaldo e do Yves
Pg. 121 até a 140 (Tudo que estiver ai)
Pulei a seção: Subgrupos gerado pela união de dois subgrupos.
Pg. 144 – 148: Homomorfismo de grupos fiz até o teorema do isomorfismo, lembro que fiz apenas a parte 1 desse teorema.
Ver exemplo V.5.11 dá pg. 151 até a definição V.5.16
Pg. 155 – Grupos Cíclicos até a proposição V.6.6 da pg. 156.
Pg. 169 – Determinação de todos os grupos <= 11 – Estudar até o grupos de ordem 7. Pg. 198 – Grupo de Permutações – pretendo fazer tudo até a página 225.
Vocês podem tentar fazer os exercícios: 1,2,3,6,7,8,9,10,12,13, 17,18,19,20,31,41,42,43,47 e 48.
Listas para estudar na 2ª parte do curso:
Lista 1 páginas 41 – 42 da apostila 2 – Polinômios-Mod2
Lista 2 páginas 50 – 51 da apostila 2 – Polinômios-Mod2
Lista 3 páginas 70 – 72 da apostila 2 – Polinômios-Mod2
Lista 4 páginas 88 – 90 da apostila 2 – Polinômios-Mod2
Lista 5 baixe aqui.
Lista 6 Exercícios selecionados no livro do Arnaldo e Yves.
Lista 7 – Entregue na aula 15JUN.
Cronograma:
Provas P1-06/05(mudamos para 11/05), P2-29/06 VR-06/07 e VS-08/07.
09/03 – 1 Apresentações, ementas, data de avaliações, bibliografia.
11/03 – 2 Definição de grupo, exemplos de grupos, abelianos, não-abelianos, finitos, infinitos: inteiros, inteiros módulo n, corpos, Diedrais, permutações.
16/03 – 3 Grupos de permutações, subgrupos
18/03 – 4 subgrupos gerados, subgrupo dos comutadores, introduzi a idéia de cubo rubik
23/03 – 5 Classe laterais e o teorema de Lagrange.
25/03 – 6 Subgrupos Normais e Grupos Quocientes
30/03 – 7 Homomorfismo de Grupos, núcleo e imagem
01/04 – 8 exercício
06/04 – 9 Grupos Cíclicos, se todo elemento do grupo é idempotente, então o grupo e abeliano, classificação dos grupos
08/04 – 10 Concluir classificação falar sobre o cubo Rubik
13/04 – 11 Grupos S_n, exercícios – e o final das técnicas para montar o cubo Rubik
15/04 – 12 Grupos Simétricos – defini o grupo alternado
20/04 -> São Jorge
22/04 – não darei aula
27/04 – 14 Conjugação e simplicidade dos A_n se n diferente de 4.
29/04 – 15 Exercícios
04/05 – 16 – Teste
06/05 – 17 – Objetivos da 2ª parte do curso: Idéias de Kummer para demonstrar o último Teorema de Fermat. Iniciei introduzindo o anel dos Polinômios, Domínio Euclidiano exemplos: Inteiros, Inteiros de Gauss, K[X].
11/05 – 18 – P1
13/05 – 19 – Correção da P1 e depois recordar: Domínios de Fatoração única e DIP, Calculo de MDC nos polinômios.
18/05 – 20 – Domínio Euclidianos, DIP, DFU e MDC
20/05 – 21 – Lema de Gauss, Raízes e fatores nos polinômios, Entrega e vista da P1.
25/05 – 22 – Critérios de irredutibilidade em Q[x]
27/05 – 23 – Raízes da Unidade
01/06 – 24 – Resolvendo x^2+y^2=z^2
03/06 – 25 – Consequências da equação x^2+y^2=z^2; propriedades dos anéis: Inteiros de Gauss e Inteiros de Eisenstein – concluí a matéria
08/06 – Não haverá aula
10/06 – Não haverá aula
15/06 – 26 – Exercícios
17/06 – 27 – Exercícios
22/06 – 28 – Exercícios
24/06 – 29 – Exercícios
29/06 – 30 – P2
01/07 – 31 – Exercícios, resolução da P2, vista de prova
06/07 – 32 – VR
08/07 – 33 – VS
13/07
15/07
Ementa: GAN00156
1. Raízes n-ésimas em um corpo.
1.1 A forma trigonométrica dos números complexos não-nulos e a multiplicação de números complexos não-nulos.
1.2 Raízes n-ésimas em um corpo K. Raízes complexas n-ésimas de um complexo não-nulo.
1.3 Raizes complexas n-ésimas da unidade. Raízes complexas primitivas n-ésimas da unidade.
2. Polinômios sobre domínios e corpos.
2.1 Rever: polinômios sobre anéis comutativos com unidade, com ênfase em domínios, a função grau e propriedades.
2.2 O domínio D[x], onde D é domínio: a divisão euclidiana por polinômios com coeficiente líder invertível. α em D é raiz de p(x) em D[x] se, e somente se x – α divide p(x). Polinômios de grau n com coeficientes em um domínio D têm no máximo n raízes em D. Multiplicidade das raízes.
2.3 Corpos algebricamente fechados: definição, corpos algebricamente fechados são infinitos, C é algebricamente fechado (sem demonstração).
2.4 K[x], K corpo, é um domínio principal. Algoritmo de Euclides em K[x] e o máximo divisor comum. Fatoração única em K[x]. MDC e MMC, a partir da fatoração única. Polinômios primos entre si. Polinômios irredutíveis em K[x] e ideais primos.
2.5 Polinômios com coeficientes complexos e com coeficientes reais. Teorema Fundamental da Álgebra em C[x]. Polinômios irredutíveis em R[x] e o TFA em R[x].
2.6 Se D é domínio de fatoração única, então D[x] é de fatoração única (não demonstrar). Polinômios em Q[x] e em Z[x]. Lema de Gauss. Critérios de irredutibilidade em Q[x].
2.7 Resolução por radicais: as equações do 2º, 3º e 4º graus.
3. Grupos
3.1 Propriedades elementares. Grupos abelianos e não-abelianos, grupos finitos e infinitos. A ordem de um grupo. O grupo Sn, para todo n ≥ 3, é não-abeliano.
3.2 Subgrupos: definição e exemplos. Subgrupo gerado por um elemento. Ordem de um elemento. Cálculo dos subgrupos do grupo Z.
3.3 A relação de equivalência módulo H, classe à direita e classe à esquerda, o índice (G : H). Teorema de Lagrange.
3.4 Grupos cíclicos: teorema de estrutura.
3.5 Classificação dos grupos de ordem prima, ordem 4 e ordem 6. Grupo dos quatérnios. Grupos diedrais.
4. Homomorfismo.
4.1 Definição, propriedades, núcleo e imagem. Isomorfismo e automorfismo de grupos.
4.2 Teorema de Cayley.
5. O grupo Sn
5.1 A congruência módulo θ, onde θ em Sn. A órbita de a por θ, onde a em {1, … ,n}. Os ciclos de θ, r-ciclos, multiplicação de ciclos.
5.2 Toda permutação é o produto dos seus ciclos. Toda permutação é produto de 2-ciclos (transposições). Permutações pares e ímpares. O grupo alternado An das permutações pares.
Bibliografia:
[1] Introdução à Álgebra, Adilson Gonçalves, Projeto Euclides, IMPA, 2000.
[2] Topics in Alqebra, LN. Herstein, John Wiley & Sons, 2nd editon.
[3] A First Course in Absiract Alqebra, John B. Fraleigh, Addison Wesley Publishing Company, 1967.
última revisão em Julho, 2015.
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